Qu’est ce que la symétrie?

Intéressons nous à un outil basé uniquement sur des considérations de forme et qui a montré, dans de nombreux domaines, son efficacité. On dit souvent que la science est affaire de spécialistes, qu’elle est trop technique pour être appréhendée par des non-initiés. Ce n’est pas complètement faux mais, à mes yeux, un peu réducteur. Le vrai problème est que parfois, les systèmes étudiés sont trop compliqués à résoudre, même pour les initiés. Dans ces cas-là, il est bon de disposer d’outils simples permettant de simplifier en amont la recherche d’une solution. La symétrie est l’un de ces outils et sans doute le plus remarquable dans la mesure où il permet, souvent sans même écrire une seule équation et sans aucun raisonnement ésotérique, de commencer à déterminer les contours de ce que doit être la solution. De plus, son aspect fortement visuel en fait un outil très instinctif mais qui dépasse l’aspect purement descriptif qu’on pourrait lui croire. Dans le langage courant, en effet, la symétrie est souvent invoquée comme un simple moyen de décrire un objet ou comme cause de certains sentiments d’harmonie et de beauté. Pensons par exemple au flocon de neige qui tire sa notoriété de sa symétrie à six branches. Mais il se trouve que de ces considérations géométriques, on peut tirer de nombreuses conclusions et ainsi accéder à un niveau de compréhension plus élevé des phénomènes en jeu.

La définition de la symétrie.

La symétrie se rattache toujours à un objet, on dit que celui-ci possède ou non telle symétrie. Pour commencer, considérons que cet objet est un objet physique, c’est-à-dire un objet tridimensionnel évoluant dans l’espace réel. Nous verrons pourtant au fur et à mesure que ceci n’est pas forcément nécessaire et que des fonctions, des équations, des ondes ou des théories peuvent elles aussi posséder certaines symétries.

Prenons donc un objet, simple et bidimensionnel pour commencer : le rectangle. Quelles sont ses symétries ? Par définition, ce sont toutes les transformations géométriques que l’on peut appliquer au rectangle tout en le laissant inchangé. On en trouve dans ce cas-là trois:

–          Les réflexions par rapport aux deux axes tracés sur le schéma (transformations a et b)

–          La rotation d’un angle de 180° autour de son centre (transformation c)

Un rectangle quelconque et ses symétries. Tiré de: http://naturelovesmath.blogspot.com/2010/10/des-groupes-dans-la-vie-quotidienne.html

On peut tout de suite remarquer que si l’on prend un carré (qui est un rectangle particulier) celui-ci possède les mêmes symétries que le rectangle plus quelques unes qui lui sont propres : réflexions par rapport à ses diagonales, rotations de 90° dans les deux sens.

Un carré et ses axes de symétrie. Tiré de www.math-college.fr

La symétrie est donc un concept suffisant pour montrer qu’un carré n’est pas juste un rectangle comme un autre, il a quelque chose en plus ! Vous me direz, il s’agit là d’écraser une mouche avec un marteau mais tout de même… Dans le cas de nos flocons de neige, les symétries sont les réflexions selon les trois axes du flocon ainsi que toutes les rotations d’un multiple de 60° autour de son centre.

Une fois cette définition posée, on peut élargir le concept de symétrie à des objets non physiques, il suffit pour cela d’abandonner le caractère géométrique des transformations considérées. Prenons par exemple l’équation de la gravitation universelle de Newton qui décrit deux corps en interaction gravitationnelle telle que la Terre et la Lune.

On peut montrer très facilement (ce qu’on ne fera pas ici puisque c’est facile) que cette équation est invariante par renversement du temps (cf un autre post). Cela signifie que si l’on change la variable t représentant le temps en son opposé –t (ce qui revient à faire s’écouler le temps du futur vers le passé), l’équation ne change pas. Physiquement parlant, cela signifie que l’on peut regarder un film du mouvement de la Lune autour de la Terre à l’endroit ou à l’envers sans en trouver un des deux qui viole les lois de Newton. Pour le sujet qui nous intéresse ici, cela signifie que le renversement du temps est une symétrie de l’équation de la gravitation. Et alors ? me direz-vous. Et alors cela a des conséquences pratiques puissantes que nous allons voir bientôt via le principe de Curie.

On considérera donc à partir de maintenant que les symétries d’un objet sont l’ensemble des transformations qui, appliquées à cet objet, le laissent inchangé.

La structure de l’ensemble des symétries d’un objet

Faisons un rapide passage par la théorie des ensembles (qui nous vient des mathématiques) pour mettre en lumière la structure remarquable de l’ensemble des symétries d’un objet.

Mathématiquement parlant, un ensemble est une collection de choses (que l’on appelle des éléments de l’ensemble) qui ont une propriété commune. Cette propriété n’importe pas et peut donc être très vague. On peut donc dire de toute collection de choses qu’elle est un ensemble. Par exemple, si nous avons sur une table une fourchette, un crayon à papier et un ruban rouge, nous pouvons définir l’ensemble des objets posés sur la table. Cet ensemble a trois éléments dont la propriété commune est d’être posé sur la table. Etant donné que toute collection peut être définie comme un ensemble, la structure d’ensemble est très faible et ne confère aucune propriété particulière.

On peut ensuite définir sur un ensemble une loi de composition interne. Il s’agit d’une opération qui à deux éléments de l’ensemble en associe un troisième. L’exemple canonique d’une loi de composition interne est l’addition sur les nombres entiers. Si l’on prend deux nombres entiers (positifs ou négatifs) et qu’on les additionne le résultat est encore un nombre entier. L’addition est donc bien une loi de composition interne pour les nombres entiers. Là encore, l’existence d’une loi de composition interne n’est pas contraignante. En effet, il suffit que le résultat de l’opération soit dans l’ensemble de départ, on peut donc toujours définir une telle loi de composition à la main, en la notant + par exemple :

Fourchette + crayon= crayon

Fourchette +ruban= ruban

Ruban + crayon = fourchette

Etc…

En revanche, les choses deviennent plus intéressantes si la loi de composition interne possède certaines propriétés.

1-      Elle possède un élément neutre. Un élément neutre est tel que si on l’ajoute à n’importe quel élément de l’ensemble alors le résultat est ce même élément. Dans le cas des nombres entiers, zéro est clairement élément neutre puisque n+0=n quel que soit n. Pour la multiplication, l’élément neutre serait le 1. Dans l’exemple que nous regardons, l’élément fourchette est un élément neutre.

2-      Tous les éléments de l’ensemble sont inversibles. Un élément est inversible s’il existe un autre élément et que, lorsque l’on ajoute les deux, on obtient l’élément neutre. Pour les nombres entiers, l’inverse est simplement le négatif. 4+(-4)=0 qui est l’élément neutre. Pour la multiplication, l’inverse serait, et bien, l’inverse : 2*1/2=1 qui est l’élément neutre. Mais, dans ce cas-là, ½ n’est pas un nombre entier. Si l’on ne considère que l’ensemble des nombres entiers alors ils sont tous inversibles pour l’addition mais pas pour la multiplication.

Un ensemble doté d’une loi de composition interne réunissant les deux propriétés ci-dessus est appelé un groupe. Tout groupe possède des propriétés très particulières et cela en fait un outil très puissant en sciences. En particulier dans le cas des symétries.

Le groupe de symétrie

Considérons donc  l’ensemble des transformations laissant un objet inchangé, ses symétries donc. Dotons cet ensemble d’une loi de composition qu’on va appeler, et bien, la composition. La composition de deux transformations S1 et S2, notée S1°S2 est simplement l’application successive de S2 puis S1 (cf figure).

 

Exemple de la composition d’une rotation et d’une translation (wikipedia)

HERE

 

Cette loi de composition est bien interne, en effet si séparément S1 et S2 laissent l’objet inchangé alors leur application successive laissera aussi l’objet inchangé. Cet ensemble possède aussi un élément neutre qui est simplement la transformation dite « identité ». Celle-ci laisse simplement l’objet inchangé et est donc bien une symétrie (triviale) de l’objet. De plus il s’agit bien d’un élément neutre dans la mesure où S1°Identité=S1 et ce quelle que soit la transformation S1. Enfin, tout élément est bien inversible. Il est clair que toute transformation possède un inverse, une rotation d’un angle alpha peut être « annulée » par une rotation d’angle –alpha. Une translation dans une direction est compensée par une translation dans la direction opposée. La question est cet inverse fait-il partie de l’ensemble de départ. Si S1 est une symétrie d’un objet alors est-ce que son inverse est forcément une symétrie ? La réponse est oui. Et la démonstration en est facile. Il s’agit de montrer que l’inverse de S1, qu’on appelle S2, est une symétrie de l’objet donc que S2 appliquée à l’objet le laisse inchangé, ce qu’on notera S2(objet)=objet. On sait déjà que S1 est une symétrie de l’objet donc que S1(objet)=objet et que S2 est l’inverse de S1 donc que S2°S1=Identité.

On a donc S1(objet)=objet, on peut alors appliquer des deux côtés de l’équation la transformation S2, on a alors S2°S1(objet)=S2(objet) or S2°S1=Identité donc S2°S1(objet)=objet, il nous reste donc objet=S2(objet), ce qu’il fallait démontrer. Si un objet est invariant par une rotation de 90° alors il est nécessairement symétrique par une rotation de -90° (la même dans l’autre sens de rotation).

On peut donc conclure que, quel soit l’objet, l’ensemble de ses symétries a une structure de groupe s’il est muni de la composition, on l’appelle alors le groupe de symétrie de cet objet. On peut remarquer qu’un objet complètement biscornu a lui aussi un groupe de symétrie mais qui se résume à un ensemble à un unique élément, la transformation identité, on appelle ce groupe le groupe trivial. Et alors ? me direz-vous. Et alors la structure de groupe est très riche et confère de nombreuses propriétés (voir l’article Wikipedia pour plus de détails) utilisables dans des domaines très divers : chimie, physique théorique, cristallographie etc… La théorie des groupes pourrait à elle seule remplir un long post sur ce site et là n’est pas notre propos. Notons cependant que cette notion de groupe nous offre un moyen de classification des formes géométriques. Si l’on considère toutes les figures possibles et imaginables à deux dimensions, on en trouve, évidemment, une infinité. Mais l’on peut simplifier en considérant que deux figures sont équivalentes si elles ont exactement le même groupe de symétrie. Ainsi, tous les rectangles (tant qu’ils ne sont pas des carrés) ont le même groupe de symétrie, on peut donc les considérer comme tous équivalents. De même, tous les cercles, quel que soit leur diamètre, ont le même groupe de symétrie. Ainsi, en n’étudiant plus les figures elles-mêmes mais la classe à laquelle elles appartiennent, on a drastiquement simplifié le problème et diminué très fortement le nombre d’éléments à considérer.

On peut aussi regrouper les différentes figures selon la taille de leur groupe de symétrie. On dit d’un groupe possédant n éléments qu’il est d’ordre n. Plus un groupe de symétrie contient d’éléments plus l’objet considéré possède de symétries, on peut donc classer les objets selon leur degré de symétrie. Et il est remarquable de considérer que les figures géométriques souvent considérées comme belles ou primaires (comme les solides de Platon) sont celles qui sont le plus symétrique. Malheureusement, certains objets possèdent une infinité de symétries (c’est le cas du cercle qui est symétrique par toutes les rotations autour de son centre) et cette classification n’est donc pas absolue.

La théorie des ensembles définit après les groupes d’autres structures, plus contraignantes comme les anneaux ou les corps (qui ont non plus une mais deux lois de composition interne). Il est tout de même remarquable de noter que la notion la plus puissante, dans le sens de la plus utilisée en dehors du simple cadre abstrait des mathématiques, est de loin la structure du groupe. Elle est la plus simple et, paradoxalement, la plus riche, ce qui me laisse à penser qu’elle a un lien très fort avec les formes de pensée et de représentation du cerveau humain.

Le principe de Curie

Pierre et Marie Curie dans leur laboratoire vers 1906. Tiré de wikipedia.org

Sortons un peu le nez de l’abstraction mathématique pour poser la question de l’utilité de la symétrie dans les sciences naturelles. Comme dans le cas des figures géométriques et de leur classification, la symétrie est toujours utilisée pour simplifier un problème. L’argument premier parait être purement de bon sens mais n’a été formulé formellement qu’en 1894 par Pierre Curie qui, rappelons-le, n’est pas que le mari de Marie, sous la forme suivante: « Lorsque certaines causes produisent certains effets, les éléments de symétrie des causes doivent se retrouver dans les effets produits. » (1).

Si la cause d’un phénomène possède une certaine symétrie, par exemple si elle est invariante par toutes les rotations comme un cercle, alors les effets de ces causes doivent eux aussi être invariants par toutes les rotations. Notons tout de suite que la réciproque n’est pas vrai, le fait qu’un flocon de neige soit symétrique par les rotations multiples de 60° n’implique pas forcément que les causes qui l’ont créé possèdent aussi cette symétrie. En résumé, le résultat d’un processus est au moins aussi symétrique que ses causes. Dans certain cas, il peut l’être plus, mais jamais moins.

Voyons maintenant en quoi le principe de Curie est un outil simplificateur en sciences. Considérons un problème assez classique, appelée problème de Rayleigh-Bénard et datant du début du XXème siècle. Il s’agit d’étudier la dynamique d’un fluide tel que l’eau lorsqu’on le place entre deux plaques de températures différentes comme sur le schéma :

Schema de principe de l’expérience de Rayleigh-Bénard. Tiré de wikipedia.org

Ce que l’on cherche est le profil de température dans l’ensemble du fluide à un instant donné. A première vue, ce problème est très compliqué et toute portion du fluide peut influencer ses voisines en leur cédant ou, au contraire, en leur retirant de la chaleur. Cependant, le principe de Curie nous vient ici en aide. Dans un cas idéalisé, et donc soluble, on peut imaginer que le problème a une extension infinie dans le plan xy. Dans ce cas là, l’intégralité du problème est invariante par toutes les translations dans ce plan : le fluide comme les plaques restent inchangés si on les fait bouger dans le plan xy. Ainsi, les effets, donc le résultat de ce phénomène quel que soit l’instant considéré doit lui aussi être invariant par toutes les translations dans le plan xy. On peut donc dire que toute la dynamique du problème se déroule dans le temps et selon la direction verticale mais que selon la direction horizontale, tous les points doivent être équivalents et donc la température identique. On peut aussi remarquer que l’on peut considérer que c’est l’état final qui doit reproduire ces symétries ou bien la fonction le décrivant. On peut définir une fonction T(x,y,z,t) qui donne la température au point de coordonnées x,y,z au temps t. Cette fonction doit être invariante par toute translation dans le plan xy, ce qui signifie qu’on doit avoir T(x+a,y+b,z,t)=T(x,y,z,t) et ce quels que soient x, y, a et b. On peut alors en déduire que T ne dépend ni de x et de y et qu’on a en réalité à étudier la fonction T(z,t).

On a donc réduit un problème tridimensionnel à un problème unidimensionnel selon z. Voilà pour la simplification grâce à M. Curie.

Les brisures de symétrie

Il a pourtant été découvert après Pierre Curie des contre-exemples à son principe. Comme on s’en doute maintenant, il s’agit là de ce que l’on appelle les brisures spontanées de symétrie. On en a déjà rencontré une dans une autre discussion sur les bifurcations (les deux concepts étant très souvent liés) : un plan de spin soumis à une température descendante est symétrique par retournement vertical. L’état final  du système devrait donc l’être également. Nous avons pourtant vu que le système faisait alors un choix et pouvait finir dans deux états différents : soit tous les spins vers le haut, soit tous les spins vers le bas. Ces deux situations prises séparément ne sont clairement pas symétriques par renversement vertical. Il semblerait donc que le principe de Curie soit ici violé.

Voyons un autre exemple d’une telle brisure : le flambage. Considérons une poutre cylindrique fabriqué dans un matériau déformable (caoutchouc, bois etc…). Posons la verticalement et commençons à appuyer sur le dessus de la poutre avec une force vers le bas et exactement verticale (il s’agit là aussi d’un exemple théorique). Le problème est invariant par toute rotation autour de l’axe du cylindre. Si l’on fait tourner l’ensemble du système, le cylindre reste identique à lui-même et la force ne change pas non plus.

Schema de principe de la poutre au début de l’expérience (noire) et une fois flambée (bleue). Tiré de mecapratique.com.

En accord avec le principe de Curie, l’état final du système devrait présenter au moins ces symétries de rotation. En fait, il n’en est rien. Au-delà d’une certaine force, d’un seuil, la poutre se met à flamber. Cela signifie qu’elle se plie, comme sur le schéma, dans une direction particulière. La poutre une fois flambée ne respecte donc plus la symétrie par rotation. Le principe de Curie est encore violé. Cependant, si l’on y regarde de plus près, dans chaque expérience le principe de Curie sera violé puisque la poutre aura flambé dans une et une seule direction. Cependant, les calculs précis montrent que toutes les directions sont équivalentes et la poutre n’a pas plus de chances de flamber à droite qu’à gauche par exemple. Si l’on refait donc l’expérience des milliers de fois, on va trouver que la poutre flambe toujours dans une direction mais que, en moyenne, toutes les directions sont autant représentées. Ainsi, le résultat d’une expérience n’est pas symétrique par rotation mais la moyenne de milliers de résultats l’est. Le principe de Curie est donc sauvé, du moins sous une forme un peu plus faible : « L’ensemble des effets possibles d’un phénomène doit avoir, au minimum, les mêmes symétries que les causes qui leur donnent naissance ». S’il a perdu une partie de sa force, la principe de Curie reste malgré tout un outil simplificateur très utile en sciences. En particulier, tout exercice de physique d’un niveau universitaire peut commencer par des considérations sur les symétries du problème afin de restreindre d’emblée, et sans effort, l’allure de la solution recherchée.

Le théorème de Noether et le lien entre symétrie et invariance

Pour finir, discutons du dernier rôle que peux jouer la symétrie en sciences naturelles en abordant rapidement un sujet pourtant technique et profond. Il s’agit de discuter d’un théorème qui nous vient là encore purement des mathématiques mais qui a trouvé un rôle fort en physique, le théorème de Noether. Il stipule, sous une forme complexe, soyons honnête, qu’à chaque symétrie d’un système (chaque transformation le laissant invariant) correspond nécessairement une grandeur qui sera conservée. Ce théorème est remarquable car il lie deux choses a priori très différentes, d’un côté une symétrie de cet objet (qui peut être un objet physique ou non, comme une fonction) qui est une propriété de sa structure et une grandeur conservée qui est une propriété de sa dynamique. En regardant simplement la forme d’un objet, on peut apprendre quelque chose sur son devenir.

Les détails formels de ce théorème sont malheureusement trop complexes pour être discutés ici mais l’on peut donner quelques exemples de la puissance de ce théorème. Considérons l’espace tel qu’il a été défini par Isaac Newton dans son ouvrage majeur les Principia. Newton pose que l’espace (au sens de l’espace physique, la toile sur laquelle se meuvent les corps célestes et non l’espace au sens astronomique qui lui contient toutes les planètes) doit être invariant par translation dans l’espace (c’est un espace infini dans l’espace et identique partout à lui-même) et dans le temps (infini dans le temps et tous les instants doivent être équivalents). D’après le théorème de Noether, à chacune de ces symétries doit correspondre la conservation d’une quantité. L’invariance dans l’espace assure alors la conservation de la quantité de mouvement (le produit de la masse par la vitesse de tous les éléments pris en compte). Cette conservation est essentielle et a été découverte et posée bien avant l’existence du théorème de Noether. De même, l’invariance par translation dans le temps se résume alors à la conservation de l’énergie qui est l’un  ou peut-être le pilier unificateur de tout l’édifice de la physique. On voit donc bien la force de ce théorème qui permet de démontrer des principes extrêmement importants à partir d’autres touchant uniquement à la structure même de notre univers…

Conclusion

La symétrie est donc un concept très riche qui puise sa source dans les mathématiques mais s’est étendu, via le principe de Curie et le théorème de Noether aux sciences naturelles: physique, chimie, microscopie etc… Il dépasse largement le simple aspect visuel que l’on a vu dans le cas des flocons de neige, il peut être un concept explicateur ou, du moins, simplificateur. Ses liens très forts avec la structure du groupe et avec la géométrie le rendent aussi très intuitif et très bien adapté aux structures mentales que nous mettons en place. Son utilisation est même allé encore plus loin avec des arguments reposant sur la symétrie qui balaient toutes les disciplines, scientifiques ou non, de l’architecture à la physique théorique (théorie de la super-symétrie) en passant par la géologie (voir par exemple le débat entre gradualisme et catastrophisme qui repose sur des considérations sur l’invariance dans le temps des phénomènes géologiques) et l’astronomie (un principe fondateur est que l’univers est isotrope c’est à dire identique dans toutes les directions ou, pour nous, invariant par toute rotation). Tous ces exemples tendent alors à montrer l’importance extraordinaire de la structure d’un objet quel qu’il soit dans son comportement et ses propriétés. Ou bien ne s’agit-il là que d’un besoin de la raison humaine de se raccrocher à des considérations géométriques, donc sensibles, pour chercher le fond des choses.

OC

Bibliographie

1- Pierre Curie, Sur la symétrie dans les phénomènes physiques, symétrie d’un champ électrique et d’un champ magnétique, (1894)

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